鍵はソースツリー・bitbucket双方ともに問題なさそうに見えるのに、なぜかPlease make sure you have the correct access rights and the repository exists.というエラーが出てbitbucketに保存できませんでした。

なんとなくはまってしまったのですが、原因これなのかな？というのが見つかったのでご報告

~/.sshには鍵がありました。
それも複数。githubで使っていたものとソースツリーで使っていたものの2種類程度です。

ソースツリーをはじめて使ったとき、使い方がとにかくわからず適当なサイトを参考にしながらソースツリーとbitbucket用の鍵を新しく作っていました。どうも今回引っかかっていたのはそのためらしいです

通常鍵を作るとき、特に何も指定をしなければid_rsaという名前の鍵が自動的に作られます。Gitはデフォルトではその名前の鍵を参照します。

クローンしてきたものに対して変更を加えたりする分には問題なかったのですが、bitbucketで所有者を自分以外に設定したリポジトリにfirst commitしようとすると、SourceTreeのキーエージェントで作ったオリジナルの名前の鍵は使えませんでした。

そのためid_rsaというデフォルトでできる鍵をssh-keygen -t rsa -C "bitbucketに登録したメールアドレス"というコマンドで作り直し、bitbucketに新たに鍵を登録しなおしました

その後、ソースツリーの左上にあるターミナルボタンを押してターミナルを起動させ、git push orgin masterをしたところ正常に登録することができました。

もし、別ディレクトリにある鍵を参照させたかったりデフォルトの名前ではない名前の鍵を使いたい場合は.ssh/configに設定する必要があるようです。

環境によってはconfigというファイルが無い場合もあります。
その場合configというファイルを作成し、サーバー名や使う鍵の名前などを記載します。
おそらくほとんどの場合こういった対処で問題は解決するかと思われます